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Activités scientifiques

Conception Géométrique Assistée par Ordinateur

Responsable : Serge Nicaise

Thèmes :

  • Interpolation et approximation de données
  • Réalité virtuelle et interfaces haptiques
  • Design de trajectoires pour applications pratiques en CAO
  • Représentation CAO de surfaces particulières

La Conception Géométrique Assistée par Ordinateur (CGAO) ou modélisation géométrique de courbes et de surfaces fournit les algorithmes de représentation des courbes et des surfaces sur ordinateur. Elle est à la base des représentations graphiques et des manipulations géométriques dans les logiciels de CAO. L’équipe CGAO du LAMAV est spécialisée dans les domaines de l’interpolation et de l’approximation de données, de la réalité virtuelle et des interfaces haptiques, de la représentation CAO de surfaces particulières, et des équations aux dérivées partielles pour l'imagerie mathématique.

Membres permanents :

Equations aux dérivées partielles et probabilités

Responsable : C. De Coster

Thèmes :

  • Singularités, EDP sur les multi structures, électromagnétisme
  • Méthodes d'éléments finis a priori, méthodes d'éléments finis a posteriori
  • Problèmes de perturbation singulière et méthodes asymptotiques
  • Méthodes mixtes duales et hybrides
  • Contrôlabilité et stabilisation de systèmes d'EDP
  • Applications la mécanique quantique, EDP non linéaires
  • Inclusions différentielles
  • Méthodes d'algèbre linéaire numérique et calcul matriciel à grande échelle
  • Contrôle stochastique, EDP stochastiques

Les axes de recherche couvrent un large spectre de thématiques tant théoriques que numériques.

Ils concernent l’analyse mathématique et numérique des EDPs sous divers points de vue, ainsi que les applications. Le choix des équations sont variées (statiques, dynamiques, déterministes, stochastiques, inclusions différentielles, perturbations singulières, équations non linéaires). Le comportement au bord des domaines (singularités de coins, d'arêtes, fissuration, couches limites) est un point fort de l’équipe. Différentes méthodes d'approximation (éléments finis a priori, a posteriori, méthodes mixtes, volumes finis) sont utilisées pour approcher ces équations. Le contrôle et la stabilisation de systèmes dynamiques sont également un centre d’intérêt important.

Les équations différentielles stochastiques rétrogrades sont également considérées, leur intérêt venant de leurs connexions avec diverses applications, comme les mathématiques financières, le contrôle stochastique, les jeux, etc.

Les applications sont nombreuses : électromagnétisme, mécanique quantique, mouvements de foule, finances, etc.

L'activité de recherche de l’équipe se développe tout particulièrement dans le cadre de coopérations nationales, européennes et internationales.

Membres permanents : Equations aux dérivées partielles

Membres permanents : Probabilités

Géométrie et Analyse Globale

Responsable : Luc Vrancken

Thèmes

Voici les directions principales dans lesquelles travaillent les membres de cette équipe.

  1. Géométrie différentielle des sous-variétés
    Recherche de relations entre les propriétés intrinsèques d'une sous-variété (propriétés qui dépendent seulement de la sous-variété elle-même et non de l'immersion dans l'espace ambiant) et les propriétés extrinsèques. Les sous-variétés idéales selon Chen en sont un exemple typique. Ces variétés réalisent l'égalité dans une inégalité entre les invariants de Chen (qui sont des invariants intrinsèques) et la courbure moyenne (extrinsèque). En ce qui concerne les espaces ambiants, nous nous sommes particulièrement intéressés aux : i) sous-variétés des espaces réels (complexes) avec courbures sectionnelles (holomorphes) constantes ; ii) à la géométrie différentielle affine ; iii) aux sous-variétés des espaces presque kählériennes.
     
  2. Feuilletages et actions de groupes
    Trois volets sont essentiellement développés ces dernières années et dans lesquels quelques résultats substantiels ont été obtenus :

    - Une action d’un groupe G (dénombrable) sur une variété M en induit une sur l’espace E des fonctions (continues ou différentiables). Nous nous intéressons au calcul de la cohomologie H*(G,E) du groupe G à valeurs dans le G-module E. Lorsque G=Z et M compacte, son dual en degré 1 est l’espace des mesures ou des distributions sur M invariantes par G. H*(G,E) apparaît alors comme un invariant central du système dynamique (M,G) ; son calcul est donc important mais reste souvent coriace même pour le groupe G=Z !

    - Un feuilletage complexe sur une variété différentiable M est un feuilletage dont les feuilles possèdent une structure complexe variant au moins continûment dans la direction transverse (une lamination par surfaces de Riemann en est l’exemple le plus considéré). Pour cette catégorie de feuilletages, on s’intéresse au problème de Cauchy-Riemann le long des feuilles. La difficulté essentielle (en plus de celles du cas classique) est la non garantie de la régularité transverse des solutions (quand on les a) due au fait que l’opérateur « delta-barre » n’est pas elliptique, il l’est seulement le long des feuilles. Pas mal de situations ont été étudiées. Mais dégager une méthode générale reste toutefois un problème largement ouvert.

    - En géométrie élémentaire plane, nous nous sommes intéressés à l’étude de certains feuilletages naturels, par exemple le feuilletage aire-périmètre sur l’espace des polygones ou encore celui du feuilletage-angle… D’autres problèmes du même genre sont dans notre objectif. Ce sont des thèmes riches, et certains d’entre eux sont connectés aux activités pédagogiques et de popularisation des maths que nous menons.

La plupart des activités de recherche susmentionnées sont menées se dans le cadre de coopérations internationales (Belgique, Espagne, Serbie, Etats-Unis, les pays du Maghreb, Inde, Chine…).

Membres permanents :

Théorie des nombres et topologie algébrique

Responsable : B. Sodaigui

Thèmes :

  • Théorie algébrique des nombres
  • Théorie de Galois
  • Théorie des commutateurs catégorique et linéarisation des structures algébriques via un calcul différentiel des foncteurs algébriques
  • Structures algébriques de nature polynomiale, notamment des applications et foncteurs polynomiaux
  • Approche "globale" et généralisation de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff
  • Filtrations des algèbres des groupes et sous-groupes induits
  • Homologie en bas degré des groupes nilpotents

En théorie algébrique des nombres, le thème est "Structure de modules galoisiens", lequel se situe dans le cadre de la théorie de A. Fröhlich développée dans [A. Fröhlich, Galois Module Structure of Algebraic Integers, Springer-Verlag, Berlin, 1983]. On étudie les conjectures non abéliennes sur les classes de Steinitz et les classes galoisiennes réalisables d'anneaux d'entiers d'extensions non abéliennes. Le fait nouveau (inattendu et surprenant) est l'utilisation de la théorie des codes dans la résolution de problèmes de plongements, et l'interprétation des éléments des idéaux de Stickelberger comme des mots de certains codes cycliques (comme celui de Hamming). Ce fait apporte une ouverture vers des recherches en cryptographie.

En topologie algébrique, on introduit et étudie des aspects divers d'une généralisation des liens classiques entre groupes et algèbres de Lie (notion qui constitue une linéarisation de la notion de groupe), à une vaste famille d'autres structures algébriques. Ce travail se fait dans le cadre général des catégories semi-abéliennes, dans lequel on étudie également les modules de Beck et la (co)homologie. L'outil principal consiste en un calcul de foncteurs dans un cadre algébrique. En outre, l'équipe étudie des applications polynomiales entre objets algébriques de types divers, notamment entre groupes et entre modules ; une investigation des foncteurs polynomiaux donne naissance notamment à une nouvelle approche "globale" de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, dans un cadre plus vaste englobant le cas classique des groupes ainsi que ceux, plus récents, de nombreuses variétés de loops (tous, Moufang, Bruck etc.). D'autres applications des structures polynomiales concernent la théorie des groupes nilpotents.

L'activité de recherche de l’équipe se développe tout particulièrement dans le cadre de coopérations nationales, européennes et internationales (Allemagne, Belgique, Brésil, Espagne, Etats Unis, Grande Bretagne, Inde, Mexique, Russie).

Membres permanents : Algèbre

Membres permanents : Topologie algébrique