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Analyse et Équations aux Dérivées Partielles > AEDP

Les axes de recherche de l'équipe AEDP (Analyse et Équations aux Dérivées Partielles) couvrent un large spectre de thématiques tant théoriques qu'appliquées.

Le choix des équations est varié (statiques, dynamiques, inclusions différentielles, équations non linéaires). Dans les points forts de l'équipe, nous pouvons citer : l'étude du comportement au bord des domaines (singularités de coins, d'arêtes, fissurations, couches limites), le contrôle et la stabilisation de systèmes dynamiques.

Les applications sont nombreuses : électromagnétisme, mécanique quantique, mouvement de foule, écoulement granulaire, etc.

Responsable : Colette De Coster


Membres permanents :

  • Felix Ali Mehmeti
  • Maryse Bourlard-Jospin
  • Colette De Coster
  • Abderrahman Maghnouji
  • Serge Nicaise
  • Luc Paquet
  • Virginie Régnier
  • Jalel Tabka
  • Juliette Venel


Membres non permanents :

  • Haidar Badawi
  • Alaa Hayek
  • Florian Lavigne
  • Farah Trad

Thèmes de recherche

Singularités des solutions d'EDP posées dans des domaines non réguliers

Singularités des solutions d'EDP posées dans des domaines non réguliersEn mécanique, la singularité désigne l’endroit où la valeur de la contrainte est infinie. Ce phénomène peut être induit par des points singuliers du domaine (coins, arêtes, discontinuité de certains coefficients) ou par des données sous forme de Dirac. Le but est donc de décrire de manière précise les singularités des solutions de problèmes aux limites linéaires ou non-linéaires (et même de problèmes d'obstacle) posés dans des domaines à points singuliers ou avec données sous forme de Dirac. Les applications sont nombreuses: par exemple une description précise des singularités permet de construire des schémas numériques adaptés et d'établir des critères de propagation de fissure.

Ces recherches se font en collaboration avec l'équipe MSA et avec différents labos en France ou à l'étranger: Institut de recherche mathématique de Rennes, équipe-projet Inria Atlantis (Inria Nice),
Institut für Mathematik und Computergestützte Simulation (Universität der Bundeswehr München, Allemagne) et le Dept. Mathematik/Informatik de l'Universität zu Köln (Allemagne).

 

EDP sur les Multistructures

EDP sur les MultistructuresL'étude d'EDP sur des multistructures apparaît dans de nombreuses applications, par exemple, en neurobiologie, en électronique et en mécanique. Ce type de problème se caractérise par un système d'EDP sur chaque composante de la multistructure, couplées par des conditions de transmission apparaissant entre ces composantes.

Les questions à résoudre sont multiples: modélisation, existence, régularité, théorie spectrale, développement asymptotique, contrôle, représentation explicite, asymptotique en temps, asymptotique en espace au voisinage des singularités, effet tunnel, etc. Une attention particulière est portée à l’obtention d’informations structurelles et analytiques sur des modèles de systèmes physiques, qui sont constitués de plusieurs milieux interagissant et le raffinement de méthodes asymptotiques du type phase stationnaire en vue de leurs applications à des phénomènes dispersifs.

Ces recherches se font en collaboration avec différents labos étrangers: Research group Analysis
(TU Darmstadt, Allemagne), Unité de recherche analyse et contrôle des équations aux dérivées partielles (Université de Monastir, Tunisie), Lehrgebiet Analysis (Fern-Universität in Hagen, Allemagne) et Institute of Mathematics, Physics, and Mechanics (University of Ljubljana, Slovénie).

 

Contrôle et stabilisation de systèmes d'EDP

Contrôle et stabilisation de systèmes d'EDPLa stabilisation de différents systèmes d'EDP du type hyperbolique avec amortissements linéaires ou non-linéaires a de nombreuses applications (réduction du bruit, dynamique des structures,
automatique par exemple). Le but est d'établir des résultats précis de décroissance de l'énergie en fonction de l'amortissement considéré.

Le contrôle optimal de certaines EDP non-linéaires nous permet d'aborder des problèmes plus appliqués. Une première question concerne le modèle de l'évolution de la température à l'intérieur d'un corps semi-transparent en agissant sur la température de la source radiative noire. Ce problème
nous amène à l'étude du contrôle optimal d'EDPs de type parabolique ou de la viscoélasticité couplées avec l'équation de transfert radiatif ou avec les équations de Maxwell. Un deuxième problème concerne la trajectoire optimale d'un laser minimisant les gradients de température dans la fabrication additive par fusion sur lit de poudre métallique.

Ces recherches se font en collaboration avec différents labos en France ou à l'étranger: Institut Elie Cartan de Lorraine (Nancy), Khawarizmi Laboratory of Mathematics and Applications-KALMA
(Université Libanaise, Beyrouth, Liban), DISIM (Università degli Studi dell'Aquila, Italie), Laboratoire de Mathématiques et Informatique (Université Joseph KI-ZERBO, Burkina Faso) et Unité de recherche analyse et contrôle des équations aux dérivées partielles (Université de Monastir, Tunisie).

 

EDP non-linéaires

EDP non-linéairesNotre compréhension des phénomènes du monde réel et notre technologie sont aujourd'hui en grande partie basées sur les équations aux dérivées partielles non linéaires. Ces équations ne pouvant être résolues explicitement, nous nous concentrons sur l'étude qualitative des solutions de telles équations.

Les questions que nous nous posons sont nombreuses: existence, unicité et multiplicité des solutions, dépendance de la solution par rapport à un paramètre de l'équation, localisation de la solution, propriétés des solutions du style: positivité, zones nodales, symétrie mais aussi stabilité ...

De façon plus précise, les problèmes étudiés au LAMAV sont
- Équations elliptiques semi-linéaires avec dépendance critique dans le gradient
- Équation de courbure moyenne anisotropique
- Problème résonant-superlinéaire
- Équation de courbure moyenne dans des espaces de Lorentz-Minkowski
- Étude spectrale d'un problème de buckling généralisé
- Phénomènes de blow-up pour des équations d'évolution non-linéaires

Une attention toute particulière est portée aux modèles de ponts suspendus.

Ces recherches se font en collaboration avec l'équipe MSA et avec différents labos en France ou à l'étranger: laboratoire de mathématiques de Besançon, Dipartimento di Matematica dell'Università di Trieste (Italie), LMPA (Université du Littoral Côte d'Opale), Département de Mathématique de l'Université libre de Bruxelles et de l'UMons (Belgique).

 

Inclusions différentielles

Inclusions différentiellesLes inclusions différentielles sont des problèmes d'évolution où la variable d'état doit rester dans un ensemble à chaque instant. Elles apparaissent dans de nombreux domaines comme la mécanique, l'économie ou l'électricité. Par exemple, en mécanique, quand on considère des particules rigides, le fait que ces dernières ne puissent pas s'interpénétrer, transforme les équations différentielles classiques (obtenues par application du principe fondamental de la dynamique), en inclusions différentielles.

Les questions dans ce cadre sont multiples : au premier ordre, caractère bien posé dans les espaces de Banach, sur des variétés riemanniennes, dans un Hilbert avec une perturbation stochastique ; au second ordre, existence de solutions et applications au problème d'écoulements granulaires avec contacts inélastiques.

 

EDP à frontières libres et Transport Optimal

EDP à frontières libres et Transport OptimalIl s'agit d'étudier le caractère bien posé d'un problème d'équation aux dérivées partielles à frontières libres modélisant un phénomène de corrosion. La difficulté vient de la présence d'une interface mobile, liée à l'évolution de la couche d'oxyde et à travers laquelle des échanges de porteurs de charges ont lieu. Ce travail est mené en collaboration avec le laboratoire Paul Painlevé de l'université de Lille et l'équipe RAPSODI de INRIA Lille-Nord-Europe.