Isabelle
CATTIAUX-HUILLARD

Bien que les modèles les plus couramment utilisés en CAO et en FAO reposent sur des représentations polynomiales et rationnelles des courbes et surfaces, elles présentent des inconvénients, en particulier pour la représentation de formes circulaires ou elliptiques. Depuis quelques années, on rencontre donc un intérêt croissant pour des représentations alternatives, et en particulier pour les courbes Algébriques Trigonométriques à Hodographe Pythagorien (courbes ATPH). Ces courbes paramétriques sont définies dans un espace algébrique-trigonométrique mixte, de la forme, et leur hodographe satisfait la condition de Pythagore. Cette propriété permet alors de calculer à la fois l'abscisse curviligne de façon analytique et la paramétrisation des courbes offsets sous forme rationnelle-trigonométrique. Elle permet en outre de modifier la forme de la courbe en utilisant un paramètre de forme et de reproduire des arcs de courbes trigonométriques planes, tels que cercles, cardioïdes, deltoïdes, limaçons, lemniscates, piriformes. 
Dans ce cadre, avec Laura Saini et Thierry Bay, nous avons étudié la caractérisation de ces courbes, et donné une description plus détaillée de certains de ces espaces. Dans la continuité de ces travaux, nous avons récemment exploré l'existence et les caractéristiques des courbes ATPH cubiques, solutions du problème de Hermite. 
Bien que les courbes ATPH dans le plan ont été largement étudiées, elles restent peu explorées dans l'espace. Pour cette raison, une collaboration avec Lucia Romani, se focalisant sur le cas spatial, a été mise en place en 2022. Ces échanges ont permis l'étude des problèmes d'interpolation de Hermite de continuité G1 et G2 de ces courbes dans l'espace. De nombreuses problématiques restent à explorer dans ce cadre. En particulier, différents types d'interpolations pourront être étudiés et décrits, dans le plan comme dans l'espace.