Georges
ZAFINDRATAFA

Prénom(s) et NOM(S)
Georges ZAFINDRATAFA
Nom du thème principal
Étude des sous-variétés riemanniennes immergées dans un espace riemannien.
Principaux livres envisagés
1. Bang-Yen CHEN, Geometry of Submanifolds,Pure and Apploied Mathematics, Marcel Dekker, 1973
2. Geometry of Submanifolds and ts applications, Science University of Tokyo, Tokyo, 1981, iii+96pp.
3. Finite type Submanifolds and Generalizations, Università degli Studi di Roma "La Sapienza", Departimento
di Matematica
4. Recent Developments in Wintgen Inequality and Wintgen Ideal Submanifolds, Intern. Electron. J.
Geometry 14 (2021), 1-40
5. Pseudo-Riemannian Geometry, δ-invariants and applications, With a foreword by Leopold Verstraelen,
World Scientific Publishing Co. Pte Ltd., Hackensack, NJ. 2011, xxxii+477pp.
Description du thème principal, objectifs
Sous-thème 1 : Sur les variétés et sous-variétés conformément plates, les variétés et sousvariétés
conharmoniquement plates
Partant d’un article d’E. Cartan publié en 1917 dans le Bulletin de la SMF sur l’étude des sous-variétés
conformément plates dans un espace euclidien, tenant compte des résultats importants obtenus par B.
Y. Chen, L. Verstraelen, J. D. Moore, J. M. Morvan et autres, et abordant la conjecture d’E. Cartan
(1917), j’ai prouvé (en collaboration avec J. M. Morvan) que toute sous-variété plate de codimension
N ∈ 1, 2, 3, 4 dans un espace euclidien R4+N est cylindrique. J’ai construit un exemple de sous-variété
de codimension 6 dans R10 qui, en un point particulier, est plate sans y être quasi-ombilicale (et donc
n’est pas cylindrique). J’ai établi que, étant donnée une sous-variété Mn isométriquement immergée
dans un espace euclidien Rn+N à connexion normale plate et de codimension N quelconque, dire qu’elle
est plate est équivalent à dire qu’elle est cylindrique. Ces résultats portent une résolution complète
des problèmes posés sur la relation entre la platitude conforme et la quasi-ombilicalité d’une part, et
d’autre part entre la platitude et la cylindricité des sous-variétés. En 1972, R. S. Kulkarni a donné
une caractérisation des variétés conharmoniquement plates (de dimension n > 4) en termes de courbure
sectionnelle. D’un autre côté, Y. Ishii a introduit la notion de tenseur de courbure conharmonique, qui est
invariante sous l’action des transformations conformes sur la variété et qui préserve (dans un certain sens)
les fonctions réelles harmoniques, appelées les transformations conharmoniques. Selon une observation de
F. Dillen, L. Verstraelen et M. P.-Torgasěv, pour qu’une variété riemannienne soit conharmoniquement
plate, il faut et il suffit qu’elle soit conformément plate et que sa courbure scalaire soit nulle. Comme
combinaison de cette observation et du résultat de Kulkarni, en dimension 4, j’ai donné une nouvelle
caractérisation des variétés conharmoniquement plates (de dimension n = 4) en termes des courbures
sectionnelles des sections planes de l’espace tangent à la variété et de sa section plane orthogonale. J’ai
prouvé qu’une sous-variété Mn conformément plate, compacte, simplement connexe et de codimension
N (1 ≤ N ≤ n − 3) dans un espace euclidien Rn+N dont la seconde forme fondamentale est parallèle,
est isométrique à une n-sphère standard Sn. J’ai obtenu une condition nécessaire et suffisante pour
1
qu’une variété riemannienne feuilletée par des sphères soit conformément plate. Comme contribution à
l’étude de la topologie des variétés conformément plates de dimension paire, j’ai calculé la caractéristique
d’Euler-Poincaré des variétés conharmoniquement plates de dimension quatre.
Sous-thème 2 : Sur des généralisations des variétés conformément plates
D. Blair, L. Verstraelen et P. Verheyen ont classifié toutes les hypersurfaces Mn dans un espace euclidien
Rn+1, pour n ≥ 4, satisfaisant des conditions de courbure de la forme R.C = 0, ou C.R = 0, où R est le
tenseur de courbure riemannienne et où C est le tenseur de courbure conforme de Weyl. J’ai généralisé
cette classification aux sous-variétés de codimension 2, à connexion normale plate.
Sous-thème 3 : Sur les variétés de type fini
En 1980, B. Y. Chen a introduit la notion de type pour les sous-variétés riemanniennes. Il a conjecturé
en 1987 que les seules surfaces compactes de type fini dans R3 sont les sphères rondes. B. Y. Chen, L.
Verstraelen, F. Dillen et L. Vrancken ont obtenu des résultats qui appuient cette conjecture. Dans le
même sens, j’ai prouvé (avec L. Verstraelen, F. Dillen et L. Vrancken) qu’une hypersurface de translation
dans un espace euclidien est de type fini si et seulement si elle est un hyperplan. D’un autre côté, je
me suis intéressé aux hypersurfaces d’un espace euclidien dont la courbure moyenne est de type fini au
sens de Chen ; cela m’a conduit à introduire la notion de sous-variété de type moyen fini dans un espace
euclidien, en ce sens que son vecteur de courbure moyenne est de type fini. La question est celle de savoir
quand est-ce qu’une sous-variété de type fini est de type moyen fini, et vice-versa. En guise de support
à une telle question, j’ai classifié toutes les hypersurfaces de translation polynomiale qui sont de type
moyen fini, ainsi que toutes les hyperquadriques non coniques dans Rn+1 qui sont de type moyen fini.
Dans un autre cadre, mais assez proche, j’ai classifié toutes les hypersurfaces minimales de translation :
ce sont les hyperplans et les cylindres au-dessus d’une surface de Scherk.
Sous-thème 4 : Sur les variétés Einstein et leurs généralisations aux variétés pseudo-Einstein
J’ai classifié les sous-variétés Einstein de codimension 2 dans R6 à connexion normale plate ; j’ai donné
toutes les formes possibles de la seconde forme fondamentale d’une telle sous-variété. En guise de généralisation,
j’ai travaillé sur les sous-variétés pseudo-Einstein. J’ai obtenu une classification des hypersurfaces
pseudo-Einstein dans certains espaces euclidiens. J’ai établi une condition nécessaire et suffisante pour
qu’une hypersurface dans un espace euclidien Rn+1, pour n ≥ 4, soit pseudo-Einstein. On connaît la caractérisation
en termes de courbure sectionnelle de la platitude conforme en dimension 4 (Weyl-Schouten),
et celle des variétés Einstein (Singer-Thorpe) ; j’ai trouvé des résultats similaires dans le cadre des variétés
pseudo-Einstein de dimension n = 4.
Sous-thème 5. : Sur les variétés semi-symétriques
Je me suis intéressé aux sous-variétés à la fois semi-symétriques et Einstein, ensuite à celles qui sont à la
fois semi-symétriques et conformément plates. Parmi mes résultats, j’ai obtenu une condition nécessaire et
suffisante pour qu’une sous-variété de codimension 2 et à connexion normale plate dans un espace euclidien
Rn+1 soit à la fois semi-symétrique et conformément plate. J’ai établi un théorème de classification des
sous-variétés semi-symétriques de dimension n ≥ 4 et à connexion normale plate dans Rn+2 ; en corollaire,
j’ai établi que, si une sous-variété compacte de dimension n ≥ 4 et à connexion normale plate dans Rn+2
est semi-symétrique, alors elle est isométrique à une n-sphère Sn.
2
Sous-thème 6 : Sur les variétés riemanniennes satisfaisant des conditions de courbure de
type pseudo-symétrique
Il est bien connu qu’une variété riemannienne (Mn, g) est dite Einstein lorsque son tenseur de Ricci S
est proportionnel à sa métrique g. Une extension de la classe des variétés Einstein forme (entre autres)
les variétés Ricci-pseudo-symétriques ; ce sont les variétés riemanniennes vérifiant une égalité de la forme
(∗1)R.S = LSQ(g, S), du moins sur un certain ouvert de la variété, pour une certaine fonction LS, où R
est le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel. Pour généraliser les variétés à courbure sectionnelle
constante, on peut considérer les variétés pseudo-symétriques (ou variétés Deszcz symétriques), c’est-àdire
celles vérifiant une égalité de la forme (∗2)R.R = LRQ(g,R), du moins sur un certain ouvert de la
variété, pour une certaine fonction LR. Ces variétés généralisent aussi les variétés symétriques, étudiées
par Z. I. Szabo dans son article publié en 1985 dans Geometriae Dedicata. Elles ont été intensément
étudiées – entre autres – et développées par R. Deszcz depuis au moins une dizaine d’années ; beaucoup de
mathématiciens célèbres s’y sont aussi intéressés et obtenus des théorèmes de classification. L. Verstraelen,
R. Deszcz, M. P.-Torgas˘ev, M. Głogowska, J. Jełowski, et moi-même, nous nous sommes penchés sur
l’étude des variétés riemanniennes (ou semi-riemanniennes) satisfaisant des conditions de courbure de
type pseudo-symétrique, de l’une des formes (∗1), (∗2). Nous nous intéressons aussi aux variétés Weyl
pseudo-symétriques - ce qui correspond à la relation (∗3)R.C = LCQ(g,C), ainsi qu’aux variétés dont
le tenseur de Weyl est pseudo-symétrique - ce qui correspond à la relation (∗4)C.C = LQ(g,C), où C
est le tenseur de courbure conforme de Weyl. Ces études nous ont amenés à nous intéresser aux variétés
semi-riemanniennes satisfaisant certaines conditions de courbure généralisée d’Einstein, fortement reliées
à la pseudo-symétrie. Notons que, dans un article publié en 2009, L. Verstraelen et S. Haese ont décrit
de façon géométrique les propriétés intrinsèques naturelles de symétrie de ces conditions de courbure
initiées par R. Deszcz depuis une dizaine d’années. En collaboration avec R. Deszcz, M. P.-Torgašev
et L. Verstraelen, j’étudie les conditions de courbure métrique généralisée d’Einstein de la forme : le
tenseur différence R.C − C.R peut s’exprimer comme une combinaison linéaire d’un nombre fini de
tenseurs de Tachibana Q(A, T), où A est un (0, 2)-tenseur symétrique et où T est un tenseur de courbure
généralisée. Ceci mène par ailleurs aux variétés de Roter, ou quasi-Einstein, ou pseudo-symétriques, ou
Ricci pseudo-symétriques, ouWeyl pseudo-symétriques, ou conformément symétriques, ou essentiellement
conformément symétriques, etc. Nous avons obtenu des résultats de classification portant sur ces variétés.
Il faut noter qu’un tableau présentant les relations entre ces différentes conditions de courbure métrique
généralisée d’Einstein (ainsi que d’innombrables théorèmes de classification) figure dans un article intitulé
« A survey on generalized Einstein metric Conditions » publié en 2011.
Les résultats obtenus portent sur
• la Riemann-compatibilité du tenseur de Ricci pour toute hypersurface d’un espace à courbure
sectionnelle constante ;
• la Riemann-compatibilité du tenseur de Ricci pour toute variété riemannienne pour laquelle le
tenseur R.C (ou C.R, ou la différence R.C − C.R) satisfait certaines conditions ;
• la Riemann-compatibilité des variétés warped products ;
• la pseudo-symétrie des variétés warped products ;
• les variétés pseudo-symétriques qui, soumises à certaines conditions de courbure, deviennent quasi-
Einstein, vérifient (de plus) les conditions C.C = 0, C.R = 0 et dont le tenseur différence R.C − C.R et
le tenseur de Tachibana Q(S,C) sont linéairement indépendants ;
• les variétés essentiellement conformément symétriques (les variétés e.c.s.) ;
• les propriétés du tenseur différence R.C − C.R sur une variété de Roter.
Dans les directions thématiques qui suivent, j’aborde aussi ces problèmes.
3
Sous-thème 7 : Sur les sous-variétés idéales au sens de Chen satisfaisant des conditions de
courbure de type pseudo-symétrique
Il y a environ une vingtaine d’années, B. Y. Chen a introduit une nouvelle famille d’invariants riemanniennes
en utilisant les courbures scalaires et certaines courbures sectionnelles. Il a noté δ(n1; n2; ...; nk)
ces invariants, où ni ≥ 2, P
ni ≤ n et où n désigne la dimension de la variété. Il a découvert, pour
les sous-variétés Mn d’une variété M
m(c) à courbure sectionnelle constante c, une inégalité entre ces
invariants et l’invariant extrinsèque (la longueur du vecteur de courbure moyenne H). Rappelons qu’un
invariant est intrinsèque lorsqu’il dépend seulement des propriétés de la sous-variété elle-même et non de
la façon dont elle est immergée dans un espace à plus grande dimension. Si ce n’est pas le cas, l’invariant
est dit extrinsèque. Cette inégalité donne une réponse partielle à une question de Chern et Yau à savoir
: « quelles sont les obstructions intrinsèques d’une variété riemannienne pour être immergeable dans
un espace à courbure sectionnelle constante avec certaines propriétés extrinsèques (minimalité, courbure
moyenne constante, etc.) ? ». On dit qu’une sous-variété est δ(n1; n2; ...; nk)-idéale si, en chacun de ses
points, l’inégalité précédemment mentionnée devient une égalité pour l’invariant δ(n1; n2; ...; nk). Dans
le cas où la courbure moyenne ne s’annule jamais (i.e. la sous-variété n’est pas minimale), une classification
des sous-variétés δ(2)-idéales a été obtenue par Dajczer et Florit, en termes de sous-variété warped
product. De notre côté, nous avons aussi obtenu plusieurs résultats de classification pour les sous-variétés
idéales au sens de Chen, dont le tenseur différence R.C − C.R peut s’exprimer comme une combinaison
linéaire d’un nombre fini de tenseurs de Tachibana Q(A; T), où A est un (0, 2)-tenseur symétrique et où
T est un tenseur de courbure généralisée. Les résultats obtenus portent sur :
• la Riemann-compatibilité du tenseur de Ricci pour toute sous-variété idéale au sens de Chen dans
un espace euclidien ;
• les symétries intrinsèques des sous-variétés idéales au sens de Chen ;
• le fait que toute sous-variété idéale au sens de Chen a son tenseur de courbure conforme de Weyl
pseudo-symétrique ;
• les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une sous-variété idéale au sens de Chen soit Deszcz
symétrique ;
• la classification des sous-variétés idéales au sens de Chen, satisfaisant des conditions de courbure
de type pseudo-symétrique ayant l’une des 3 formes suivantes : (1) R.C − C.R s’exprime comme une
combinaison linéaire des tenseurs de Tachibana Q(g;R) et Q(S;R) ; (2) R.C−C.R s’exprime comme une
combinaison linéaire des tenseurs de Tachibana Q(g;C) et Q(S;C) ; (3) R.C − C.R s’exprime comme
une combinaison linéaire des tenseurs de Tachibana Q(g; g ∧ S) et Q(S; g ∧ S) ;
• la classification des sous-variétés idéales au sens de Chen, satisfaisant des conditions de courbure de
type pseudo-symétrique ayant l’une des 6 formes suivantes : (1) R.C −C.R et Q(g;R) sont linéairement
dépendants ; (2) R.C − C.R et Q(S;R) sont linéairement dépendants ; (3) R.C − C.R et Q(g;C) sont
linéairement dépendants ; (4) R.C − C.R et Q(S;C) sont linéairement dépendants ; (5) R.C − C.R et
Q(g; g ∧ S) sont linéairement dépendants ; (6) R.C − C.R et Q(S; g ∧ S) sont linéairement dépendants.
Sous-thème 8 : Sur les sous-variétés idéales au sens de Wintgen satisfaisant des conditions
de courbure de type pseudo-symétrique.
Dans leurs articles publiés en 2008 et 2011, T. Choi, Z. Lu et G. Tang ont établi l’inégalité de Wintgen
pour les sous-variétés Mn de dimension quelconque n et de codimension quelconque m dans un espace
M
n+m(c) à courbure constante c, reliant la courbure scalaire normale et le carré de la courbure moyenne.
Ils ont caractérisé les opérateurs de Weingarten des sous-variétés pour lesquelles l’inégalité de Wintgen
devient une égalité ; ce sont les sous-variétés idéales au sens de Wintgen (ou : Wintgen-idéales). Ces
études se basent sur l’inégalité obtenue par Wintgen au 19ème siècle sur les surfaces M2 dans l’espace
euclidien R4, et font suite à des résultats obtenus par Rouxel, Rodrigues, Guadalupe, De Smet, Dillen,
4
Vrancken et Verstraelen. En 2012, S. Decu, M. P.-Torgasěv, A.-Šebeković et L. Verstraelen ont classifié
les sous-variétés idéales au sens de Wintgen, qui sont pseudo-symétriques, ou Ricci pseudo-symétriques,
ou conformément plates. Ils ont montré qu’une sous-variété Mn est Wintgen-idéale si et seulement si Mn
est un espace de Roter. Face à ces résultats, R. Deszcz, M. P.-Torgasěv, L. Verstraelen et moi-même,
nous nous sommes intéressés (comme dans le cas des sous-variétés idéales au sens de B. Y. Chen) à la
classification des sous-variétés idéales au sens de Wintgen, satisfaisant l’une des 3 conditions de courbure
de type pseudo-symétrique (au sens de R. Deszcz) suivantes : (1) le tenseur différence R.C −C.R est une
combinaison linéaire des tenseurs de Tachibana Q(g,R) et Q(S,R) ; (2) le tenseur différence R.C − C.R
est une combinaison linéaire des tenseurs de Tachibana Q(g,C) et Q(S,C) ; (3) R.C − C.R est une
combinaison linéaire des tenseurs de Tachibana Q(g, g ∧ S) et Q(S, g ∧ S). Nous souhaitons en déduire
une caractérisation des sous-variétés Wintgen-idéales (dans un espace euclidien), satisfaisant l’une des 6
conditions de courbure de type pseudo-symétrique suivantes : (i) R.C −C.R et Q(g,R) sont linéairement
dépendants ; (ii) R.C − C.R et Q(S,R) sont linéairement dépendants ; (iii) R.C − C.R et Q(g,C) sont
linéairement dépendants ; (iv) R.C − C.R et Q(S,C) sont linéairement dépendants ; (v) R.C − C.R et
Q(g, g ∧ S) sont linéairement dépendants ; (vi) R.C − C.R et Q(S, g ∧ S) sont linéairement dépendants.
Nous souhaitons comprendre le sens géométrique de chacune de ces conditions.
Sous-thème 9 : Sur certaines propriétés de courbure des variétés warped product.
En collaboration avec R. Deszcz, M. Głogowska, J. Jełowski, M. P.-Torgas˘ev, je me suis penché sur
l’étude de certaines propriétés de courbure (fortement reliées à la pseudo-symétrie) des variétés warped
product ; les résultats obtenus ont fait l’objet d’une publication en 2013. D’un autre côté, dans leur
article paru en 1998, M. Dajczer et L. A. Florit ont décrit les sous-variétés idéales au sens de Chen, en
termes de warped product de certaines sous-variétés vérifiant certaines conditions et certaines équations
aux dérivées partielles. Nous nous intéressons, en ce moment, à la résolution de ces équations, pour
aboutir à une meilleure compréhension géométrique des sous-variétés idéales au sens de Chen.
Travaux déjà réalisés et en cours de réalisation
1 Conformally flat submanifolds, J. M. Morvan and G. Zafindratafa, Ann. F. Sci. Toulouse, vol. VIII
(3), 1986-1987 (331 − 347).
2 On the intrinsic symmetries of Chen ideal submanifolds, R. Deszcz, M. P.-Torgašev, L. Verstraelen
and G. Zafindratafa, Bull. Transilvania Univ. Brasov 15 (50), 2008 (99 − 109).
3 On normally flat Einsteinian submanifolds, L. Verstraelen and G. Zafindratafa, Inter. J. Math.
And Math. Sci., vol. 20 [3] (1997), 497–502.
4 Hypersurfaces with mean curvature function of finite type, G. Zafindratafa, J. Geom., vol. 55
(1996), 182–191.
5 Classification of finite type polynomial translation hypersurfaces, F. Dillen, L. Verstraelen, L.
Vrancken and G. Zafindratafa, Results in Math., vol. 27 (1995), 244–249.
6 On the sectional curvature of conformally flat submanifolds, L. Verstraelen and G. Zafindratafa,
Rend. Sem. Mat. Di Messina, vol.I, serie II, 1991 (247–254).
7 Some comments on conformally flat submanifolds, L. Verstraelen and G. Zafindratafa, Geom. And
Topology of Subm. III, World Sci. Publ., 1991 (312 − 314).
8 A generalization of the translation surface of Scherk, F. Dillen, L. Verstraelen and G. Zafindratafa,
Geom. And Topology of Subm. III, World Sci. Publ., 1991 (312 − 314).
5
9 G. Zafindratafa, On the sectional curvature of conformally flat submanifolds, Rend. Cont. Sem.
Di Messina, vol. I, Serie II, 1991 (247-254)
10 G. Zafindratafa, The local structure of a 2-codimensional conformally flat submanifold in a Euclidean
space, Geom. And Topology of Subm. II, World Sci. Publ., 1990 (386-412)
11 Conformally flat submanifolds, J. M. Morvan and G. Zafindratafa, Ann. F. Sci. Toulouse, vol. VIII
(3), 1986 − 1987 (331 − 347).
12 A generalization of the translation surface of Scherk, F. Dillen, L.Verstraelen and G. Zafindratafa,
Differential geometry in honour of Radu Rosca, KUL (Belgium), 1991 (107 − 110).
13 Remarques sur les sous-variétés à connexion normale plate satisfaisant la RC-condition ou la CRcondition,
G. Zafindratafa, Inter. Cent. Of Theor. Phys. (Italy) , Inter. Rep. IC/88/112 (1988)
14 A survey on conformally flatness and quasiumbilicity of submanifolds, G. Zafindratafa, Intern.
Cent. Of Theor. Phys (Italy) , Inter. Rep. IC/89/116 (1989).
15 On Einsteinian 4-dimensional submanifolds in E4, G. Zafindratafa, Intern. Cent. Of Theor. Phys.
(Italy), Inter. Rep. IC/89/329 (1989).
16 On the intrinsic symmetries of Chen ideal submanifolds, R. Deszcz, Miroslava Petrović-Torgašev,
L. Verstraelen and G. Zafindratafa, Bull. Transilvania Univ. Brasov, Ser. Math., Informatics,
Physics, 15 (50) (2008), 99-108.
17 On Riemann and Weyl compatible tensors, R. Deszcz, M. Głogowska, J. Jełowicki, M. Petrović-
Torgašev and G. Zafindratafa, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 94 (108) (2013), 111-124.
18 On some curvature conditions of pseudosymmetry type, R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotlo s and
G. Zafindratafa, Period. Math. Hung. 70 (2015), 153-170.
19 Hypersurfaces in spaces of constant curvature satisfying some curvature conditions, R. Deszcz, M.
Głogowska, M. Hotlo s and G. Zafindratafa, J. Geom. Phys. 99 (2016), 218-231.
20 Curvature properties of some class of warped product manifolds, R. Deszcz, M. Głogowska, J.
Jełowicki and G. Zafindratafa, J. Geom. Meth. Modern Phys. 13 (2016), 1550135 (36 pages).
21 On Chen ideal submanifolds satisfying some conditions of pseudo-symmetry type, R. Deszcz, M.
Petrović-Torgašev, L. Verstraelen and G. Zafindratafa, Bull. Malaysian Math. Sci. Soc. 39 (2016),
103-131.
22 Curvature properties of some warped product manifolds, R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotlo s, J.
Jełowicki and G. Zafindratafa, Int. J. Geom. Meth. Modern Phys. 13 (2016), 1550135 (36 pages).
23 Curvature properties of some warped product manifolds, R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotlo s,
J. Jełowicki and G. Zafindratafa, Conference Differential Geometry, Stefan Banach International
Mathematical Center, The Mathematical Research and Conference Center in B¦dlewo, Poland, June
19-June 24, 2017 (20 pages). Poster.
24 Hypersurfaces in space forms satisfying some generalized Einstein metric condition, R. Deszcz, M.
Głogowska and G. Zafindratafa, J. Geom. Phys. 148 (2020), 103562 (20 pages). Poster
25 A Note on Some Generalized Curvature Tensor, R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotlo s, M. Petrović-
Torgašev and G. Zafindratafa, Int. Electronic J. of Geom., Vol. 16 N° 1, Page 379 − 397 (2023).
6
26 On Semi-Riemannian manifolds satisfying some generalized Dinstein metric conditions, R. Deszcz,
M. Głogowska, M. Hotlo s, M. Petrović-Torgašev and G. Zafindratafa, Int. Electronic J. of Geom.
16 (2) (2023), 539 - 576.
27 Curvature properties of some class of semi-Riemannian manifolds, R. Deszcz, M. Głogowska, M.
Petrović-Torgašev, and G. Zafindratafa (2021, in preparation).
28 On Wintgen ideal submanifolds satisfying some pseudo-symmetry type curvature conditions,
R. Deszcz, M. Głogowska, M. Petrović-Torgašev, and G. Zafindratafa, à paraître dans arXiv :
23120238v1 [math.DG], 4 Dec. 2023.
Sous-thème 10 : Rapport
Report on the research collaboration between
Georges Zafindratafa1 and Ryszard Deszcz2
We met first time in 1988 during the international conference on differential geometry Géométrie
Différentielle et Applications in Avignon. In the next years we continued our mathematical discussions
during meetings at the Katholieke Universiteit Leuven (K.U. Leuven), in particular, in 1991 when
Georges finished his Ph.D. thesis and I worked on my habilitation theses. In September 1994 I visited
together with Professor Leopold Verstraelen (K.U. Leuven) for one day the Université de Valenciennes
et du Hainaut-Cambresis. We had again a possibility for discussions. In March 2005 (again for one
day) I visited together with Professor Miroslava Petrović-Torgašev (Kragujevac, Serbia), Professor Ion
Mihai (Bucharest, Romania) and Professor Leopold Verstraelen the Université de Valenciennes et du
Hainaut-Cambresis. We were members of the committee for habilitation of Georges at the Université de
Valenciennes et du Hainaut-Cambresis.
We are coauthors of the following papers: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] and the poster [12]. Moreover three
next papers are in preparation: [9, 10, 11]. The remain coauthors of these papers are: Professor Miroslava
Petrović-Torgašev, Professor Marian Hotloś (Wrocław University of Science and Technology), Professor
Leopold Verstraelen, and from my University Dr. Małgorzata Głogowska and Dr. Jan Jełowicki.
At the beginning of my next stay (July, 2011) at the Université de Valenciennes et du Hainaut-
Cambresis (LAMAV), I presented one hour talk during organized by Georges Journee de Geometrie,
Valenciennes, 11 Juillet 2011. Others speakers of that meeting were Professor Leopold Verstraelen and
Professor Aziz El Kacimi (Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis). In the years 2011-2012,
I realized in LAMAV together with Georges and an international group of mathematicians a research
project related to semi-Riemannian manifolds (submanifolds) satisfying some generalized Einstein metric
conditions. The research results obtained in that project are included in the papers: [2, 3, 4, 5]. In the
next years we continued our joint investigations on semi-Riemannian manifolds (hypersurfaces) satisfying
curvature conditions of pseudosymmetry type. These results are contained in papers [6] and [7], published
in 2013 and 2020, respectively.
Very recently in [8] semi-Riemannian manifolds (hypersurfaces) admitting some special generalized
curvature tensor were investigated. Actually we finish the survey paper [9] on semi-Riemannian manifolds
1Professeur Émérite, Laboratoire de Mathématiques pour l’Ingénieur (LMI), Université Polytechnique Hauts-de-France,
59313 Valenciennes cedex 9, France ORCID ID: 0009-0001-7618-4606
E-mail: Georges.Zafindratafa@uphf.fr
2retired employee of the Department of Applied Mathematics, Wrocław University of Environmental and Life Sciences,
Grunwaldzka 53, 50-357 Wrocław, Poland ORCID ID: 0000-0002-5133-5455
E-mail: Ryszard.Deszcz@upwr.edu.pl
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(submanifolds, and in particular, hypersurfaces) satisfying some generalized Einstein metric conditions.
We hope that paper will be ready for submission to a journal at the begining of June of this year. I think
that the paper on 2-quasi-Einstein manifolds [10] will be submitted to a journal in August. Finally, we
hope that the paper on Wintgen ideal submanifolds satisfying some conditions of pseudosymmetry type
[11] will be ready for submission at the end of this year.
We also mention that in 2017 during the conference Differential Geometry organized in the Stefan Banach
Interational Mathematical Center - The Mathematical Research and Conference Center in Będlewo,
Poland, June 19–June 24, 2017, the poster [12] was presented. Among other things, that poster contained
the main results of [4].
References
[1] R. Deszcz, M. Petrović-Torgašev, L. Verstraelen and G. Zafindratafa, On the intrinsic symmetries
of Chen ideal submanifolds, Bull. Transilvania Univ. Brasov, Ser. Math., Informatics, Physics, 15
(50) (2008), 99–108.
[2] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotloś and G. Zafindratafa, On some curvature conditions of pseudosymmetry
type, Period. Math. Hung. 70 (2015), 153–170.
[3] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotloś and G. Zafindratafa. Hypersurfaces in spaces of constant curvature
satisfying some curvature conditions, J. Geom. Phys. 99 (2016), 218–231.
[4] R. Deszcz, M. Głogowska, J. Jełowicki and G. Zafindratafa, Curvature properties of some class of
warped product manifolds, Int. J. Geom. Meth. Modern Phys. 13 (2016), 1550135 (36 pages).
[5] R. Deszcz, M. Petrović-Torgašev, L. Verstraelen and G. Zafindratafa, On Chen ideal submanifolds
satisfying some conditions of pseudo-symmetry type, Bull. Malaysian Math. Sci. Soc. 39 (2016),
103–131.
[6] R. Deszcz, M. Głogowska, J. Jełowicki, M. Petrović-Torgašev and G. Zafindratafa, On Riemann and
Weyl compatible tensors, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 94 (108) (2013), 111–124.
[7] R. Deszcz, M. Głogowska and G. Zafindratafa, Hypersurfaces in space forms satisfying some generalized
Einstein metric condition, J. Geom. Phys. 148 (2020), 103562 (20 pages).
[8] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotloś, M. Petrović-Torgašev and G. Zafindratafa, A note on some
generalized curvature tensor, Int. Electron. J. Geom. 17 (1) (2023), 379–397.
[9] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotloś, M. Petrović-Torgašev and G. Zafindratafa, On semi-
Riemannian manifolds satisfying some generalized Einstein metric conditions, to appear.
[10] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Petrović-Torgašev and G. Zafindratafa, Curvature properties of some
class of 2-quasi-Einstein manifolds, to appear.
[11] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Petrović-Torgašev and G. Zafindratafa, On Wintgen ideal submanifolds
satisfying some conditions of pseudosymmetry type, to appear.
Poster
[12] R. Deszcz, M. Głogowska, M. Hotloś, J. Jełowicki and G. Zafindratafa, Curvature properties of some
warped product manifolds, poster, conference Differential Geometry, Stefan Banach International
Mathematical Center, The Mathematical Research and Conference Center in Będlewo, Poland, June
19 - June 24, 2017 (20 pages).
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