Abdellatif
ZEGGAR
∗ Objets géométriques invariants :
Soit A un automorphisme linéaire de l’espace vectoriel R^d (resp. du tore T^d) et soit g une fonction donnée dans l’espace de Fréchet E = C^n (R^d) (resp. E = C^n (T^d)), avec n ∈ N. Nous nous intéressons à la résolution de l’équation cohomologique discréte (e) suivante :
(e) : f − f ◦ A = g où f est une fonction inconnue dans E
− Dans l’article [1], en collaboration avec R. Leclercq, nous nous sommes intéressés au cas où A est un automorphisme linéaire contractant de R^d.
− Actuellement, je m’intéresse à la résolution de l’équation cohomologique discréte (e) dans le cas où A est un
automorphisme linéaire hyperbolique de R^d, non nécessairement contractant.
L’existence d’une direction instable (dilatante) V_u ⊂ R^d présente une difficulté supplémentaire par rapport au cas d’une contraction étudié dans [1].
− Le cas d’un automorphisme affine hyperbolique γ : T^d → T^d, x → γ(x) = A(x) + b, avec b ∈ T^d, a été étudié
dans la prépublication [5].
∗ Géométrie des polygones :
− Étude du feuilletage aire-périmétre sur l’espae des polygones du plan euclidien [2].
− Étude des suites des descendants d’un polygone du plan euclidien [4].
Diplômes universitaires
- 1992 :
Doctorat en Mathématiques. Thèse intitulée "Nombre de Lefschetz basique pour un feuilletage riemannien",
publiée aux Annales de la faculté des sciences de Toulouse et soutenue à l’université de Valenciennes devant
la commission d’examen :
◦ Président : R. Barre (Université de Valenciennes)
◦ Rapporteurs : G. Hector (Université de Lyon I)
M. Nicolau (Université autonome de Barcelone)
V. Sergiescu (Université de Grenoble)
◦ Examinateurs : F. Lescure (Université de Lille I)
D. Tanré (Université de Lille I)
◦ Directeur de Thése : A. El Kacimi (Université de Valenciennes)
Expériences professionnelles
- 1991 - 2024 :
Positions :
∗ Depuis octobre 1993 : Maître de Conférences à l’université de Valenciennes puis à l’université Polytechnique Hauts-de-France.
∗ Du 01/10/1991 au 30/09/1993 : ATER (à temps plein) à l’université de Valenciennes.
∗ Années universitaires 1989-1990 et 1990-1991 : Enseignant Vacataire/Doctorant à l’université de Valenciennes, dans le cadre d’une bourse CIES (Centre International des Étudiants et Stagiaires).Principales activités et responsabilités :
∗ Depuis septembre 1991 : Enseignement des mathématiques (Mathématiques générales, Algèbre, Analyse, Géométrie…) en L1, L2 et L3.
∗ De juillet 2012 à juillet 2020 : Responsable pédagogique de la formation L3 Mathématiques.
∗ De juillet 2009 à juillet 2020 : Responsable pédagogique de la formation L2 Mathématiques.
Responsabilités pédagogiques
∗ De juillet 2012 à juillet 2020 : Responsable pédagogique de la formation L3 Mathématiques.
∗ De juillet 2009 à juillet 2020 : Responsable pédagogique de la formation L2 Mathématiques.
Enseignements actuels
* Licence 1 - SPI/INFO : Mathématiques 1, CM/TD (3 groupes).
* Licence 1 - Audiovisuel : OMI-Maths, CM/TD (2 groupes).
* BUT1 - GMP : Remédiation-Maths, TD (3 groupes).
* Licence 1 - Mathématiques : Analyse 2A, CM et TD (2 groupes).
* Licence 1 Licence Mathématiques : Analyse 2B, CM et TD (2 groupes).
* Licence 3 Mathématiques : Géométrie 6, CM et TD (1 groupe).
Enseignements antérieurs
Depuis septembre 1991 : Enseignement des mathématiques (Mathématiques générales, Algèbre, Analyse, Géométrie…) en L1, L2 et L3.
[1] R. Leclercq and A. Zeggar, On the cohomological equation of a linear contraction,
Proyecciones Journal of Mathematics Vol. 41, No 5 (October 2022), 1075-1091.
Résumé : A étant un automorphisme linéaire contractant de l’espace vectoriel R^d, nous étudions les solutions de l’équation cohomologique discrète (e) : f − f ◦ A = g dans l’espace de Fréchet E des fonctions de classe C^l sur R^d (0 ≤ l ≤ ∞). f ∈ E est inconnue et g ∈ E est donnée.
[2] A. El Kacimi and A. Zeggar, Area and perimeter foliations on spaces of polygons,
Graduate J. Math. 4 (2019), 18-29.
Résumé : Nous montrons que l’ensemble des classes d’isométrie des polygones convexes étoilés à n cotés (n ≥ 3) est muni naturellement d’une structure de variété différentiable de dimension 2n−3 et que cette variété est difféomorphe à un ouvert convexe de R^{2n−3}. Le sous-ensemble constitué des polygones inscriptibles et celui constitué des polygones ayant des longueurs de cotés données, forment également des variétés différentiables de dimensions respectives n et n−3. La famille des polygones ayant un périmètre et une aire donnés à l’avance, peut être regardée comme une feuille du feuilletage "Aire-Périmètre" dont les singularités sont les polygones convexes réguliers.
[3] A. Zeggar, Nombre de Lefschetz basique pour un feuilletage riemannien,
Annales de la faculté des sciences de Toulouse, série 6, tome 1, n° 1 (1992), 105-131.
Résumé : Nous avons établi une formule intégrale donnant le nombre de Lefschetz basique LF(f) pour un endomorphisme géométrique d’un complexe transversalement elliptique associé à une application f préservant un feuilletage riemannien F sur une variété compacte. Nous obtenons en quelque sorte une formule de Lefschetz sur l’espace singulier des adhérences des feuilles. Goresky et Macpherson ont démontré un résultat analogue sur un espace singulier muni d’une stratification mais avec des méthodes différentes. Celles que nous utilisons sont inspirées des techniques de Toledo. Le cas particulier de l’endomorphisme identité du complexe des formes basiques nous a permis d’introduire la classe d’Euler basique qui généralise la notion classique de classe d’Euler. La condition LF(f) = 0 est une condition nécessaire pour que l’application f laisse fixe une adhérence de feuille de F.
[4] A. El Kacimi et A. Zeggar, Sur les suites des descendants d’un polygone,
Prépublication CERAMATHS-DMATHS (janvier 2024). https ://uphf.hal.science/hal-04444952
Résumé : Soit P = [A_1, ...,A_n] un n-polygone (avec n ≥ 4) du plan euclidien E et soit λ un nombre réel dans l’intervalle ]0, 1[. On note P1 = [A′_1, · · · ,A′_n] le n-polygone dont les sommets A′_1, · · · ,A′_n sont les λ-barycentres A′_k = (1−λ) A_k + λ A_{k+1}, avec 1 ≤ k ≤ n et A_{n+1} = A1 ; on dira que P_1 est le premier λ-descendant de P_0 = P. On itère ce processus ; à l’étape q ≥ 1 on obtient le q-ème λ-descendant P_q de P. On définit ainsi une suite (P_q) de n-polygones qu’on appelle la suite des λ-descendant de P.
Dans ce papier :
* on donne une génèralisation du théorème de Varignon à n’importe quel polygone pair et pondéré ;
* on montre que, pour tout n pair et pour tout ε > 0, il existe un rang q_ε tel que, pour tout q ≥ q_ε, P_q est ε-multiparallélogramme, c’est-à-dire ε-proche d’un multiparallélogramme (n-polygone pair ayant un centre de symétrie).
[5] A. Zeggar, On the cohomological equation of a hyperbolic automorphism,
Prépublication CERAMATHS-DMATHS (décembre 2023). https ://uphf.hal.science/hal-04319976
Résumé : Si A une matrice hyperbolique (matrice sans valeur propre de module égal à 1) appartenant à GL(d,Z) et si b un élément de l'espace vectoriel R^d. L’automorphisme affine γ : x → γ(x) = Ax+b de R^d induit sur le tore T^d = R^d/Z^d un automorphisme affine hyperbolique que l’on note encore γ. Nous montrons que l’image δ(E) de l’opérateur cobord δ : E := C^∞(T^d) → E, h → δ(h) = h − h ◦ γ est un fermé de l’espace de Fréchet E et que par conséquence l’espace de cohomologie H^1 (γ,E) := E/δ(E) est un espace de Fréchet non trivial. Nous prouvons également l’existence d’un opérateur linéaire continu L : δ(E) → E tel que, pour toute fonction g ∈ δ(E), la fonction f = L(g) est une solution de l’équation cohomologique f − f ◦ γ = g où f ∈ E est inconnue et g ∈ E est donnée. Ce résultat généralise un théorème analogue prouvé par A. Dehghan-Nezhad et A. El Kacimi dans le cas où b = 0 et A est une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont réelles et positives.