Séminaire du CERAMATHS - DMATHS : exposé de Teresa Dos Santos

Le séminaire du département de mathématiques du CÉRAMATHS accueillera, exceptionnellement à 15h15, Teresa Oitaben Santos (CÉRAMATHS, UPHF), jeudi 12 mars 2026, pour l'exposé suivant :

Solutions normalisées : une formulation abstraite

Dans cette présentation, nous discuterons d'une nouvelle approche pour étudier les solutions normalisées (c'est-à-dire dont la norme L² est fixée) d’une équation de Schrödinger superlinéaire abstraite.
L’approche classique consiste à transformer le problème de l’existence d’une solution en la recherche d’un point critique d’une fonctionnelle, appelée énergie, restreinte à l’ensemble des fonctions de norme L² fixée. Nous obtenons donc une solution d'une équation où apparaît un terme linéaire avec un multiplicateur de Lagrange. La non-connaissance explicite de ce multiplicateur de Lagrange induit des difficultés dans certains cas.
Nous montrerons qu’il est possible d’adopter un point de vue différent : au lieu d’imposer la contrainte de masse dès le départ, nous pouvons étudier la masse des solutions du problème obtenu en fixant le multiplicateur de Lagrange.
Même dans ce nouveau cadre, l’analyse demeure de nature variationnelle. Nous cherchons des points critiques d'une nouvelle fonctionnelle, appelée action. Cette nouvelle fonctionnelle n’étant pas bornée inférieurement sur tout l’espace, nous restreignons l’étude sur une contrainte naturelle associée à la fonctionnelle (variété de Nehari), sur laquelle il devient légitime de minimiser la fonctionnelle. De plus, cet ensemble a la propriété de contenir tous les points critiques non triviaux de cette fonctionnelle, ce qui permet de formuler la recherche de solutions comme un problème de minimisation bien posé.
Dans un deuxième temps, nous préciserons les conditions assurant la validité de ce cadre abstrait, et illustrerons la démarche à travers des exemples.